，0=3

似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add3，0=3.

所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

addx，y+1=addx，y，这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出addx，y+1，就要知道addx，0=x，我们称addx，0=x为基准条件；addx，y+1=addx，y为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出addx，0=x，就能得到addx，y+1，也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，addx，0=x=proj11

于是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

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基准函数f:Nn—N

递归函数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=ρnf，g:Nn+1—N

对于h:

基准条件：hx1，...xn，0=fx1，...，xn

递归条件: hx1，...，xn，y+1=gx1，...，xn，y，hx1，...，xn，y

回到我们的加法器add：

add:N2→N

addx，y=x+y=ρ1f，g

基准条件：addx，0=fx=proj11

递归条件：addx，y+1=gx，y，addx，y=addx，y，g=·[proj33]

add=ρ1proj11，·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=ρ1zero，add·[proj13，proj33]

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，三种原始函数和组合·，原始递归ρ这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N 这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了，具体的fa1，...an，x，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f5，4，3，2，1，0=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f5，4，3，2，1，1=1

假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj211，其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

proj211，0=1

proj211，1=1

我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就